1.    В чем заключается основная задача динамического программирования?

2.    Опишите особенности процесса принятия решения в динамическом программировании.

3.    Какие операции называются многошаговыми?

4.    Что понимается под термином «управляемые процессы»?

5.    В чем состоит смысл принципа оптимальности?

6.    Опишите поэтапный процесс решения задач динамического программирования.

7.    Возможно ли разбиение решения сложных вычислительных задач методами динамического программирования?

8.    Что понимается под термином «динамическое программирование»?

9.    Чем характеризуется состояние управляемой системы S?

10.    Что лежит в основе вычислительных алгоритмов динамического программирования?

Цель работы: освоить и закрепить практические навыки по использованию моделей систем массового обслуживания.

Основы знаний об очередях, иногда называемые теорией очередей или теорией массового обслуживания, составляют важную часть теории управления производством. Очереди являются обычным явлением. Автомобиль ждет ремонта в центре автосервиса, студенты ждут консультацию со своим профессором.

В управлении производством можно использовать различные мо­дели систем массового обслуживания. Опишем две наиболее часто встречающиеся в практике модели. Их характеристики даны в ниже­приведенной таблице. Обе модели, описанные в табл. 7.1, имеют сле­дующие общие характеристики: 1) пуассоновское распределение зая­вок; 2) правило обслуживания – FIFO (первым пришел – первым об­служен); 3) единственная фаза обслуживания.

Таблица 7.1

Модели систем массового обслуживания

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют единственную очередь, которая обслуживается одним рабочим местом.

Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:

1. Заявки обслуживаются по принципу: первым пришел – первым обслужен (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.

2. Появления заявок являются независимыми событиями, однако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно.

3. Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.

4. Время обслуживания различно для разных клиентов и независимо друг от друга, однако средний темп обслуживания известен.

5. Время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей.

6. Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

Формулы для описания модели А: простая система M/M/1

Число заявок в единицу времени, z.

Число клиентов, обслуживаемых в единицу времени, b.

Среднее число клиентов в системе: .

Среднее время обслуживания одного клиента в системе:  (время ожидания плюс время обслуживания).

Среднее число клиентов в очереди: .

Среднее время ожидания клиента в очереди: .

Параметр утилизации (загруженности системы): .

Вероятность отсутствия заявок в системе: .

Вероятность более чем k заявок в системе: p_n>k=(z/b)^k+1 (n – число заявок в системе).

Если эти условия выполняются, то система массового обслуживания описывается уравнениями, приведенными выше. Примеры 1 и 2 показывают, как может быть использована модель А (техническое наименование М/М/1).

Васильев, механик магазина, может заменить масло в среднем в трех автомобилях в течение 1 часа (т.е. в среднем у одного автомобиля за 20 мин). Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, приезжают в среднем по два в час в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено.

На основе этих данных мы можем получить основные характеристики этой системы обслуживания:

z=2 машины поступают в час;

b=3 машины обслуживаются в час;

 – машины в среднем в системе;

 – среднее время ожидания в системе;

 – машины в среднем ожидает в очереди;

 – среднее время ожидания в очереди;

 процентов времени механик занят;

 – вероятность того, что в системе нет ни одного клиента.

Вероятность более чем k машин в системе (табл. 7.2).

Таблица 7.2

После того, как получены основные характеристики системы обслуживания, часто бывает полезным провести ее экономический анализ. В частности, сопоставить возрастающие затраты на улучшение обслуживания и снижающие затраты, связанные с ожиданием. Рассмотрим эти затраты.

Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса в связи с неудовлетворенностью клиентов и равны 10 тыс. руб. за час ожидания в очереди. Так как в среднем каждая машина ожидает в очереди 2/3 ч (Wq), и в день обслуживается приблизительно шестнадцать машин (две машины в час в течение восьмичасового рабочего дня), общее число часов, которое проводят в очереди все клиенты, равно

2/3 16=32/3=10 2/3 ч.

Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют

10 (10 2/3)=107 тыс. руб. в день.

Другая важная составляющая затрат владельца автосервиса – зарплата механика Васильева. Он получает 7 тыс. руб. в час или 56 тыс. руб. в день. Следовательно, общие затраты составляют

107+56=163 тыс. руб. в день.